Rechenregeln

Logarithmen

$log(a*b) = lob(a) + log(b)$
$log(\frac{a}{b}) = log(a) - log(b)$
$log(a^b) = b * log(a)$
$log(\sqrt{a}) = log(a^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} * log(a)$

Mehrere Veränderlichen

Kombinatorik

Maechtigkeiten, Permutation und Kombination
Maechtigkeit

Beschreibt die Anzahl möglicher Ereignisse

Permutation

Wie viele Möglichkeiten gibt es drei Farben anzuordnen ?
$$ P_{n} = n! = n * ( n - 1 ) * ( n - 2 ) * ... * 2 * 1 $$

Mit Reihenfolge und Wiederholung (zurücklegen)

Wie viele Möglichkeiten gibt es zwei Autos in 5 Parklücken zu parken ?
$$ \frac{ n! } { ( n - k )! } $$

Mit Reihenfolge und ohne Wiederholung

Anzahl der zweistelligen Buchstaben aus den Buchstaben X,Y,Z
$$ n^k $$

Ohne Reihenfolge und ohne Wiederholung

Möglichkeiten beim Lotto einen Schein auszufüllen. (6 aus 49)
$$ \frac{n!}{ ( n-k )! * k! } $$

Ohne Reihenfolge und mit Wiederholung

Zwei aus Fünf und die Reihenfolge ist egal. (Binomialkoeffizient)
$$ \begin{pmatrix} n + k - 1 \\ k \end{pmatrix}$$

Binomialkoeffizient

Binomischer Lehrsatz:

Stochastik

Bernoulli-Prozesse

Bernoulli-Versuche, sind Versuche in denen als Ergebnis nur zwei Zustaende möglich sind: Erfolg und nicht-Erfolg. Ein Erfolg trifft dabei unabhaengig von vorherigen Erfolgen mit der Wahrscheinlichkeit $ p $ ein. Mit der Binomialverteilung lassen sich Aussagen über Bernoulli-Prozesse treffen.

Statistische Tests

In statistischen Tests werden zwei Aussagen gegeneinander abgewogen. Die Nullhypothese (H0) beschreibt die Annahme, die Alternativehypothese (H1) die Alternative. Beide definieren unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten für ein zu prüfendes Verhalten.
Geprüft wird z.B.: $$ P(H_{0} angenommen | H_{1} ist richtig) = P( X \geq c | p = p_{H_{0}}) $$
Grenzwerte (c) werden festgelegt, indem Signifikanzniveaus für Tests erster oder zweiter Art definiert werden. Der Fehler erster Art beschreibt, dass die Nullhypothese richtig ist, aber die Alternativhypothese angenommen wird. Der Fehler zweiter Art beschreibt eine Entscheidung für die Alternativhypothese, obwohl die Nullhypothese richtig ist.

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Binomialverteilung
  • $E(X) = n*p$
  • $Var(x) = n * p * (1 - p)$
  • Gleichartige, unabhaengige Versuche, die jeweils genau zwei Ergebnisse haben können
  • k Erfolge, n-k Nicht-Erfolge, Können an beliebiger Stelle auftreten
Gleichverteilung
  • Jedes mögliche Ereignis trifft mit der selben Wahrscheinlichkeit
Normalverteilung / Gaußverteilung
  • Wird oft genutzt um Messfehler, Zufaellige Abweichungen oder aehnliches zu beschreiben
  • Die Binomialverteilung kann durch die Normalverteilung approximiert werden: $ \mu = n * p ; \sigma = \sqrt{ n * p * (1-p) }$
Erwartungswert

$\mu = E(X)$

Varianz

$Var(X) := E((X - \mu)^2)$
Betrachtet man ein Zufallsvariable welche die Werte -1, 1 und 2 mit den Wahrscheinlichkeiten 0.5, 0.3 und 0.2 annimmt.
$E(X) = 0.5 * (-1) + 0.3 * 1 + 0.2 * 2 = 0.2 $
$Var(X) = (-1 - 0.2)^2 * 0.5 + (1 - 0.2)^2 * 0.3 + (2 - 0.2)^2 * 0.2 = 1.65 $
Verschiebungssatz :
$Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = -1^2 * 0.5 + 1^2 * 0.3 + 2^2 * 0.2 - 0.2^2= 1.65 $

Standardabweichung

$\sigma_{x} = \sqrt{Var(X)}$

Zentraler Grenzwertsatz

Eine Summe unabhaengiger Variablen mit endlicher Varianz ist annaehrend Normalverteilt (bei ausreichend großen $n$)

Zufallsvariable

  • Zufallsvariablen besitzen diverse mathematische Attribute:
    • stetig oder kontinuierlich : besitzt eine Dichte / stetige Verteilungsfunktion
    • diskret : endlich/abzaehlbar viele Werte können angenommen werden
    • konstant : nimmt nur einen Wert an
    • unabhaengig : wenn die Ereigniss stochastisch unabhaengig sind
Stochastisch Unabhaengig

Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhaengig wenn gilt :

Optimierungsprobleme

Beispiel : Optimiere eine Funktion die den Flächeninhalt darstellt, unter der Bedingung, dass der Umfang des Rechtecks 400 nicht übersteigt.
$U(a,b) = 2a+2b \leq 400 \rightarrow a=200-b \land b=200-a$
$f(a,b) = a*b$
Suche Nullstellen der Zielfunktion, vielleicht gibt es bereits passende Extremwerte.
$f'_{a}(a,b) = b$
$f'_{b}(a,b) = a$
Es gibt ein Minimum bei a = 0 und b = 0, die implizite Nullbedingung ($a>0,b>0$) verbietet dies.

Im nächsten Schritt müssen die Randstellen betrachtet werden:
1. $a=0 \land b=200$ oder $b=0 \land a=200$ : nicht relevat, wegen der Nullbedingung
2. Prüfe den Rand des Wertebereiches, mit $a=200-b$ bzw $b=200-a$

$f(200-b,b)=(200-b)*b=200b-b^2=g(b)$
$g'(b)=200-2b$
NST (Minimum) bei b=0 und b=100 (Jay !)
Untersuche $b=100$ und finde heraus, dass es sich um ein Maximum handelt.
$\Rightarrow b=100, a=200-b=200-100=100$ Somit gibt es ein Maximum bei $a=b=100$ (Wer hätte es gedacht)

Hätte die Nullstellenuntersuchung kein (wertbares) Ergebnis gebracht, hätte man die Randstellen von $g$ untersuchen müssen.

Räumliche Mathematik

Vektoren

Koordinatensystem und Transformationen

Die Position eines Punktes im Raum wird in einem Koordinatensystem durch Angabe der Größe der einzelnen Basisvektoren des Koordinatensystems definiert. Das in der (Schul-) Mathematik häufig verwendete kartesische Koordinatensystem besteht aus Basisvektoren die im 90 Grad Winkel aufeinander stehen. Die Abszissenachse (Horizontale) und Ordinatenachse (Vertikale) stellen die Basis dieses Systems. Ein weiteres Beispiel ist das Polarkoordinatensystem, welches auf die Beschreibung von Winkeln und Abständen fokussiert.
Um Vektoren von einem Koordinatensystem in ein anderes zu überführen geht man wie folgt vor:
Koordinatensystem $A$ (kartesisch):
$e_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} e_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Koordinatensystem $B$:
$e_{1} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} e_{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

Der Punkt $ P $ hat in $ A $ die Koordinaten $ \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} $
Um die Koordinaten im $ B $ zu ermitteln löst man:

$\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} = x * B_{e_{1}} + y * B_{e_{2}}$
$\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} = x* \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} + y*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $

Der Punkt $ P $ ist somit in $ B $ dargestellt: $ \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} $

Vektornorm / Euklidische Norm

Eine Norm ist eine Abbildung, die auf bestimmte Weise einem Vektor oder einer Matrix eine Zahl zuordnet, die auf irgendeine Weise die Größe des Objektes beschreiben soll.
Eine Norm erfüllt dabei folgende Kriterien:

  1. Definitheit : $||x|| = 0 \Rightarrow x = 0$
  2. absolute Homogenität : $||\alpha * x|| = |\alpha|*||x||$
  3. Dreiecksungleichung : $||x+y||\leq||x||+||y||$

Das klassische Beispiel ist die euklidische Norm : $||(x,y)||=\sqrt{x^2+y^2}$

Orthogonalität

Zwei Geraden oder Ebenen heißen Orthogonal, wenn sie einen rechten Winkel einschließen. Zwei Vektoren sind Orthogonal, wenn das Skalarprodukt 0 ist.

Vektorraum

Ein Vektorraum ist die Grundstruktur, die benötigt wird um mit Vektoren zu arbeiten. Vektoren können addiert, oder mit Skalaren (aus einem darüberliegenden Körper) multipliziert werden. Jeder Vektorraum hat eine Basis, die es erlaubt Vektoren darzustellen (Siehe Koordinatensysteme).
Ein Vektorraum benötigt eine Addition (Zwei Vektoren) und eine Multiplikation (Vektor und Skalar), sowie vier Eigenschaften für die Interaktion von je Vektoren und Skalaren:

V1. Assoziativgesetz
V2. Existenz eines neutralen Elementes
V3. Existenz eines inversen Elementes
V4. Kommutativgesetz

S1. Ausmultiplizierbar ( $ a * ( b + c ) = a * b + a * c $ )
S2. Ausmultiplizierbar ( $ a + ( b * c )= ( a + b ) * ( a + c ) $)
S3. Ausmultiplizierbar ( $ a * ( b * c )= ( a * b ) * ( a + c ) $)
S4. Neutralität des Einselementes

Winkel zwischen zwei Vektoren

Per Vereinbarung wird immer der kleinere Winkel zwischen den Vektoren genommen.
$cos(\lambda) = \frac{ \vec{a} * \vec{b} }{ | \vec{a} | * | \vec{b} | }$

Flächeninhalt des Spates dreier Vektoren

Drei Vektoren spannen einen Spat, das Volumen lässt sich so errechnen:
$V=(\vec{a}\times\vec{b})*\vec{c}$
Dabei können $a$,$b$ und $c$ cyklisch vertauscht werden.

Abstände

Das meiste ist natürlich Abhängig von der verwendeten Norm.
$\vec{p} = Punkt $
$\vec{s}, \vec{t} = Stuetzvektor $
$\vec{u}, \vec{v}, \vec{q}, \vec{r} = Spannvektor $
$\vec{n} = Normalenvektor $
$\lambda = Faktor vor Spannvektor $

Punkt-Punkt

$|{\vec{x}}| = \sqrt{ x_{1}^2+...+x_{n}^2}$

Punkt-Gerade

Zuerst wird eine Hilfsebene mit dem Spannvektor der Geraden als Normalenvektor aufgestellt und dem Punkt als Stützvektor aufgestellt. Dann wird der Schnittpunkt mit der Geraden errechnet.
$E_{Hilf}=[\vec{x} - \vec{p}] * \vec{u} $
Forme $E$ in Koordinatenform um
$E_{Hilf}=ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}+d=0$
Setze $g$ umgeformt ein und bestimme $\lambda$
Errechne den Schnittpunkt von $g$ mit $E$ durch $\lambda$
Berechne den Abstand von $p$ und $g$

Gerade-Gerade
  • Identisch:
    • Gleichsetzen, Abstand 0
  • Parallel:
    • Gleichsetzen, Wie Abstand Punkt-Gerade
  • Schnittpunkt:
    • Gleichsetzen
  • Windschief:
    • Hilfsebene
    • Normalvektor : Kreuzprodukt der Spannvektoren
    • Stützvektor : Stützvektor einer Geraden
    • Beliebigen anderen Punkt nehmen und Abstand Ebene-Punkt berechnen

Formal:
$\vec{n} = \vec{u} * \vec{n}$
$E_{Hilf} = [\vec{x} - \vec{s}] * \vec{n}$
$distance = | \frac{a * x_{1} + b * x_{2} + c * x_{3} + d} {|\vec{n}|} |$

Ebene-Punkt

Liegt die Ebene in Hessescher Normalform (HNF) vor, lässt sich der Abstand wie folgt berechnen:
$distance = | \frac{a * x_{1} + b * x_{2} + c * x_{3} + d} {|\vec{n}|} |$
Wird der Lotfußpunkt benötigt, kann eine Hilfsebene erstellt werden:
$g: \vec{x}=\vec{p}+\lambda*\vec{n}$
Dann wird der Schnittpunkt dieser Geraden mit der Ebenen berechnet.

Ebene-Gerade

Wenn die Gerade die Ebene nicht schneidet, so ist sie parallel und es kann der Abstand Punkt-Ebene berechnet werden.

Ebenen

Darstellungsformen

$\vec{p} = Stuetzvektor $
$\vec{u}, \vec{v} = Spannvektoren $
$\vec{q}, \vec{r} = Ebenenpunkte $
$\vec{n} = Normalenvektor $

Explizit:

Parameterform:

$$ \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p_{1} \\ p_{2}
\end{pmatrix} +s* \begin{pmatrix} u_{1} \\ u_{2}
\end{pmatrix} $$

Drei-Punkte Form:

$$ \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3}
\end{pmatrix} +s* \begin{pmatrix} q_{1} - p_{1} \\
q_{2} - p_{2} \\
q_{3} - p_{3} \\
\end{pmatrix} +t* \begin{pmatrix} r_{1} - p_{1} \\
r_{2} - p_{2} \\
r_{3} - p_{3} \\
\end{pmatrix} $$

Implizit:

Normalenform

$(\vec{x} - \vec{p}) * \vec{n} = 0$
$\vec{x} * \vec{n} = \vec{p} * \vec{n}$

Hessesche Normalform

Die Hessesche Normalform verhält sich wie die Normalform, nur dass der Normalenvektor normalisiert.
$ \vec{n}_{0} = \begin{cases} \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} & \vec{p} * \vec{n} \ge 0 \\ -\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} & \vec{p} * \vec{n} < 0 \end{cases} $
$d= \vec{p} * \vec{n}_{0}$
$n_{1}x+n_{2}y+n_{3}z=d$

Achsenabschnitts-Form

$x_{0} = \frac{d}{a}; x_{1} = \frac{d}{b}; x_{2} = \frac{d}{c}$
$\frac{x}{x_{0}}+\frac{y}{y_{0}}+\frac{z}{z_{0}}=1$
Wobei die jeweiligen Nenner die Schnittpunkte mit den Achsen darstellen.